Filtro De Passagem De Banda Média Móvel

A média móvel como um filtro A média móvel é freqüentemente usada para suavizar dados na presença de ruído. A média móvel simples nem sempre é reconhecida como o filtro de Resposta de Impulso Finito (FIR) que é, enquanto na verdade é um dos filtros mais comuns no processamento de sinal. Tratá-lo como um filtro, permitindo compará-lo com, por exemplo, filtros com janelas-sinc (veja os artigos sobre os filtros passa-baixa, passagem alta e banda passada e banda-rejeição para exemplos desses). A principal diferença com esses filtros é que a média móvel é adequada para sinais para os quais a informação útil está contida no domínio do tempo. Dos quais suavizar medições por meio da média é um excelente exemplo. Os filtros Windowed-sinc, por outro lado, são performantes no domínio da frequência. Com equalização no processamento de áudio como um exemplo típico. Existe uma comparação mais detalhada de ambos os tipos de filtros no Time Domain vs. Frequency Domain Performance of Filters. Se você tem dados para os quais tanto o tempo como o domínio de freqüência são importantes, então você pode querer dar uma olhada em Variações na Média Móvel. Que apresenta uma série de versões ponderadas da média móvel que são melhores nisso. A média móvel do comprimento (N) pode ser definida como escrita como normalmente é implementada, com a amostra de saída atual como a média das amostras anteriores (N). Visto como um filtro, a média móvel realiza uma convolução da sequência de entrada (xn) com um impulso retangular de comprimento (N) e altura (1N) (para tornar a área do pulso e, portanto, o ganho do filtro , 1 ). Na prática, é melhor tomar (N) ímpar. Embora uma média móvel também possa ser calculada usando um número par de amostras, usando um valor ímpar para (N) tem a vantagem de que o atraso do filtro será um número inteiro de amostras, uma vez que o atraso de um filtro com (N) As amostras são exatamente ((N-1) 2). A média móvel pode então ser alinhada exatamente com os dados originais, deslocando-a por um número inteiro de amostras. Domínio do tempo Uma vez que a média móvel é uma convolução com um pulso retangular, sua resposta de freqüência é uma função sinc. Isso torna algo parecido com o dual do filtro windowed-sinc, uma vez que é uma convolução com um pulso sinc que resulta em uma resposta de freqüência retangular. Essa é essa resposta de freqüência de voz que torna a média móvel um desempenho pobre no domínio da freqüência. No entanto, ele funciona muito bem no domínio do tempo. Portanto, é perfeito suavizar os dados para remover o ruído e, ao mesmo tempo, manter uma resposta de passo rápido (Figura 1). Para o típico Black Gaussian Noise (AWGN) que é frequentemente assumido, as amostras de média (N) têm o efeito de aumentar o SNR por um fator de (sqrt N). Uma vez que o ruído para as amostras individuais não está correlacionado, não há motivo para tratar cada amostra de forma diferente. Assim, a média móvel, que dá a cada amostra o mesmo peso, eliminará a quantidade máxima de ruído para uma nitidez de resposta de passo dada. Implementação Por ser um filtro FIR, a média móvel pode ser implementada através da convolução. Em seguida, terá a mesma eficiência (ou falta dela) como qualquer outro filtro FIR. No entanto, também pode ser implementado de forma recursiva, de uma maneira muito eficiente. Ele segue diretamente da definição de que esta fórmula é o resultado das expressões para (yn) e (yn1), ou seja, onde percebemos que a mudança entre (yn1) e (yn) é que um termo extra (xn1N) aparece em O fim, enquanto o termo (xn-N1N) é removido desde o início. Em aplicações práticas, muitas vezes é possível excluir a divisão por (N) para cada termo, compensando o ganho resultante de (N) em outro local. Esta implementação recursiva será muito mais rápida do que a convolução. Cada novo valor de (y) pode ser calculado com apenas duas adições, em vez das adições (N) que seriam necessárias para uma implementação direta da definição. Uma coisa a procurar com uma implementação recursiva é que os erros de arredondamento se acumulam. Isso pode ou não ser um problema para a sua aplicação, mas também implica que esta implementação recursiva funcionará melhor com uma implementação inteira do que com números de ponto flutuante. Isso é bastante incomum, uma vez que uma implementação em ponto flutuante geralmente é mais simples. A conclusão de tudo isso deve ser que você nunca deve subestimar a utilidade do filtro de média móvel simples em aplicações de processamento de sinal. Ferramenta de design de filtro Este artigo é complementado com uma ferramenta de design de filtro. Experimente valores diferentes para (N) e visualize os filtros resultantes. Experimente agora Resposta de Fechamento do Filtro Médico Corrente A resposta de freqüência de um sistema LTI é o DTFT da resposta de impulso. A resposta de impulso de uma média móvel em L é Como o filtro médio móvel é FIR, a resposta de freqüência se reduz ao finito Soma Podemos usar a identidade muito útil para escrever a resposta de freqüência como onde nós deixamos ae menos jomega. N 0 e M L menos 1. Podemos estar interessados ​​na magnitude desta função, a fim de determinar quais frequências obtêm o filtro desatualizado e atenuados. Abaixo está um gráfico da magnitude desta função para L 4 (vermelho), 8 (verde) e 16 (azul). O eixo horizontal varia de zero a pi radianes por amostra. Observe que em todos os três casos, a resposta de freqüência possui uma característica de passagem baixa. Um componente constante (zero freqüência) na entrada passa pelo filtro desatualizado. Certas frequências mais altas, como pi 2, são completamente eliminadas pelo filtro. No entanto, se a intenção era projetar um filtro de passagem baixa, então não fizemos muito bem. Algumas das freqüências mais altas são atenuadas apenas por um fator de cerca de 110 (para a média móvel de 16 pontos) ou 13 (para a média móvel de quatro pontos). Nós podemos fazer muito melhor do que isso. O argumento acima foi criado pelo seguinte código Matlab: omega 0: pi400: pi H4 (14) (1-exp (-maome4)). (1-exp (-iomega)) H8 (18) (1-exp (- Iomega8)). (1-exp (-iomega)) H16 (116) (1-exp (-iomega16)). (1-exp (-iomega)) trama (omega, abs (H4) abs (H8) abs ( H16)) eixo (0, pi, 0, 1) Copyright copy 2000- - Universidade da Califórnia, Berkeley O cientista e engenheiros Guia de processamento de sinal digital Por Steven W. Smith, Ph. D. Capítulo 14: Introdução aos Filtros Digitais Filtros de Passagem Alta, Passagem de Banda e Rifa de Banda Os filtros de passagem de alta, passagens de banda e rejeição de bandas são projetados começando com um filtro passa-baixa e depois convertendo-o na resposta desejada . Por esse motivo, a maioria das discussões sobre o design do filtro apenas fornece exemplos de filtros passa-baixa. Existem dois métodos para a conversão passa-baixa para conversão passa alta: inversão espectral e inversão espectral. Ambos são igualmente úteis. Um exemplo de inversão espectral é mostrado em 14-5. A Figura (a) mostra um kernel de filtro de passagem baixa chamado windowed-sinc (o tópico do Capítulo 16). Este kernel de filtro tem 51 pontos de duração, embora muitas das amostras tenham um valor tão pequeno que parecem ser zero neste gráfico. A resposta de freqüência correspondente é mostrada em (b), encontrada adicionando 13 zeros ao kernel de filtro e tomando uma FFT de 64 pontos. Duas coisas devem ser feitas para alterar o kernel do filtro passa-baixa em um kernel de filtro de passagem alta. Primeiro, altere o sinal de cada amostra no kernel de filtro. Em segundo lugar, adicione um à amostra no centro da simetria. Isso resulta no kernel do filtro passa alto mostrado em (c), com a resposta de freqüência mostrada em (d). A inversão espectral dispara a resposta de freqüência de cima para baixo. Alterando as passas em batentes de batente e as batentes para as passas. Em outras palavras, ele muda um filtro de passagem baixa para passe alto, passe alto para passe baixo, passagem de banda para rejeição de banda ou rejeição de banda para banda passada. A Figura 14-6 mostra por que essa modificação de dois passos para o domínio do tempo resulta em um espectro de freqüência invertido. Em (a), o sinal de entrada, x n, é aplicado em dois sistemas em paralelo. Um desses sistemas é um filtro passa-baixa, com uma resposta de impulso dada por h n. O outro sistema não faz nada ao sinal e, portanto, tem uma resposta de impulso que é uma função delta, delta n. A saída global, y n, é igual à saída do sistema all-pass menos a saída do sistema passa-baixa. Uma vez que os componentes de baixa frequência são subtraídos do sinal original, apenas os componentes de alta frequência aparecem na saída. Assim, é formado um filtro passa-alto. Isso pode ser executado como uma operação em dois passos em um programa de computador: execute o sinal através de um filtro passa-baixa e, em seguida, subtrai o sinal filtrado do original. No entanto, toda a operação pode ser realizada em um estágio de sinal combinando os dois kernels de filtro. Conforme descrito no Capítulo 7, sistemas paralelos com resultados adicionados podem ser combinados em uma única etapa, adicionando suas respostas de impulso. Conforme mostrado em (b), o kernel de filtro para o filtro passa-alto é dado por: delta n-h n. Ou seja, altere o sinal de todas as amostras e, em seguida, adicione uma à amostra no centro da simetria. Para que esta técnica funcione, os componentes de baixa freqüência que saem do filtro de passagem baixa devem ter a mesma fase que os componentes de baixa freqüência saindo do sistema de passagem total. Caso contrário, uma subtração completa não pode ocorrer. Isso coloca duas restrições sobre o método: (1) o kernel de filtro original deve ter simetria esquerda-direita (ou seja, uma fase zero ou linear) e (2) o impulso deve ser adicionado no centro da simetria. O segundo método para passagem baixa para conversão de passagem alta, inversão espectral. Está ilustrado na Fig. 14-7. Assim como antes, o kernel do filtro de passagem baixa em (a) corresponde à resposta de freqüência em (b). O kernel de filtro passa alto, (c), é formado alterando o sinal de cada outra amostra em (a). Conforme mostrado em (d), isso alterna o domínio de freqüência para a esquerda para a direita. 0 torna-se 0,5 e 0,5 torna-se 0. A frequência de corte do exemplo filtro passa-baixa é 0,15, resultando na frequência de corte do filtro passa-alto sendo 0,35. Alterar o sinal de cada outra amostra equivale a multiplicar o kernel do filtro por uma sinusoide com uma freqüência de 0,5. Conforme discutido no Capítulo 10, isso tem o efeito de mudar o domínio da freqüência em 0,5. Veja (b) e imagine as freqüências negativas entre -0,5 e 0 que são de imagem espelhada das freqüências entre 0 e 0,5. As frequências que aparecem em (d) são as frequências negativas de (b) deslocadas em 0,5. Por fim, Figs. 14-8 e 14-9 mostram como os kernels de filtro passa-alto e passa-alto podem ser combinados para formar filtros de banda passada e de rejeição de banda. Em suma, a adição de kernels de filtro produz um filtro de rejeição de banda, ao mesmo tempo em que convolver os kernels de filtro produz um filtro passa-banda. Estes são baseados na forma como os sistemas em cascata e paralelos são combinados, conforme discutido no Capítulo 7. Podem também ser utilizadas múltiplas combinações destas técnicas. Por exemplo, um filtro de passagem de banda pode ser projetado adicionando os dois kernels de filtro para formar um filtro passa-banda e, em seguida, use inversão espectral ou inversão espectral conforme descrito anteriormente. Todas essas técnicas funcionam muito bem com poucas surpresas.